Trigonometri er den delen av matematikk som handler om sammenhenger mellom vinkler og sider i trekanter. Trigonometri er et viktig verktøy i navigasjon, astronomi, landmåling og fysikk.
trigonometri
fra gresk trigonon (tre vinkler) og metro (måling)
Forholdstallene mellom sidene i en trekant avhenger kun av størrelsen til vinklene og ikke av størrelsen til trekanten.
De vanligste forholdstallene mellom sidekantene kalles sinus, cosinus og tangens:
\[\begin{aligned} \sin(v) &= \frac{b}{c} \\ \cos(v) &= \frac{a}{c} \\ \tan(v) &= \frac{b}{a} \end{aligned}\]
Trigonometri tar utgangspunkt i en rettvinklet trekant, som er en trekant der en av vinklene er 90 grader.
Hypotenusen er den lengste siden i en rettvinklet trekant. De to andre sidene i en rettvinklet trekant kalles kateter. Motstående katet er den siden i trekanten som ligger på motsatt side av vinkelen, og hosliggende katet er den siden i trekanten som ligger inntil vinkelen.
Forholdet mellom to av sidene i en trekant avhenger kun av vinkelen mellom dem og ikke av størrelsen på trekanten. Hvis en trekant endrer størrelse uten at vinklene endres, forblir forholdet mellom sidelengdene det samme. Hvis én side blir dobbelt så lang, må også de andre sidene bli dobbelt så lange.
Forholdstallene mellom sidene i en rettvinklet trekant har fått egne navn: sinus, cosinus og tangens. Dette er de trigonometriske funksjonene. Siden forholdstallene bare avhenger av vinkelen kan vi skrive sinus, cosinus og tangens som funksjoner av vinkelen.
\[\sin(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusen}} \]
\[\cos(v) = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenusen}}\]
\[\tan(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}\]
I tillegg finnes de trigonometriske funksjonene sekans, cosekans og cotangens.
Hvis en vinkel er 30 grader, er hypotenusen alltid dobbelt så lang som den korteste kateten fordi sinus til 30 grader er lik en halv.
Trigonometri er viktig i navigasjon, astronomi, landmåling og fysikk.
Trigonometri har lenge blitt brukt i navigasjon. Tidligere bestemte navigatøren skipets posisjon ved å måle vinkelen mellom horisonten og spesifikke stjerner eller solen. I dag brukes trigonometri i mer moderne GPS-systemer.
Hvis skipet er nær land og navigatøren ser for eksempel et fyrtårn med kjent høyde, kan et mål av vinkelen mellom bunnen og toppen av fyrtårnet brukes til å beregne avstanden til fyrtårnet:
\[\tan(v) = \frac{\text{fyrtårnets høyde}}{\text{avstand til fyrtårnet}}\]
Hvis fyrtårnet er 30 meter høyt og vinkelen måles til 3 grader, er avstanden til fyrtårnet:
\[\text{avstand til fyrtårnet} = \frac{\text{fyrtårnets høyde}}{\tan(v)} = \frac{30 \text{m}}{\tan(3^{\circ})} \approx 570 \text{m}\]
Skipet er derfor cirka 570 meter fra fyrtårnet.
Arkitekter og ingeniører bruker trigonometri til å konstruere broer, bygninger og tak. Beregningene sikrer at konstruksjonene får riktige dimensjoner og tåler belastningene de utsettes for.
Hvis et hus er 8 meter bredt og skal ha et saltak med 35 graders vinkel, kan trigonometri brukes til å finne høyden til takmønet.
\[\tan(35^{\circ}) = \frac{h}{4 \text{m}} \quad \Rightarrow \quad h = 4 \text{m} \cdot \tan(35^{\circ}) \approx 2,8 \text{m}\]
Takmønet må derfor være 2,8 meter over veggene.
Trigonometri brukes mye innen fysikk fordi mange naturfenomener oppfører seg som bølger. Dette kan være lysbølger, lydbølger eller bølger i vann. Slike bølger beskrives gjerne med sinuskurver. Matematisk skrives dette slik:
\[y = A \sin(t)\]
\(A\) er amplituden til bølgen og \(t\) kan være tiden som går mens bølgen brer seg utover, eller en vinkel.
Trigonometri brukes i fysikk til å analysere vektorer. Vektorer har både retning og størrelse. Krefter, hastigheter og akselerasjon er eksempler på vektorer. Vektorer kan deles opp i en horisontal og en vertikal komponent.
Hvis et fly flyr nordover med en hastighet på 200 km/t og samtidig utsettes for en sidevind på 50 km/t mot øst, kan trigonometri brukes til å regne ut flyets kurs:
\[\tan(\theta) = \frac{\text{hastighet mot øst}}{\text{hastighet mot nord}} = \frac{50 \text{km/t}}{200 \text{km/t}} \quad \Rightarrow \quad \theta \approx 14^{\circ}\]
Flyet beveger seg med en kurs omtrent 14 grader øst for nord.
De fleste verdiene av de trigonometriske funksjonene er desimaltall. For eksempel er cosinus til 20 grader lik 0,939692... . Noen vinkler har imidlertid eksakte verdier for de trigonometriske funksjonene. For eksempel er cosinus til 60 grader lik nøyaktig 0,5 og cosinus til 30 grader er nøyaktig \(\sqrt{3}/2\).
Før kalkulatorer ble vanlige, var eksakte verdier av trigonometriske funksjoner helt nødvendig. Selv om man i dag har kalkulatorer, er det lurt å bruke eksakte verdier når man kan. Dette er for å få helt nøyaktige resultater og unngå avrundingsfeil.
Alle vinkler kan måles i enten radianer eller grader. Tabellen viser nøyaktige verdier av sinus, cosinus og tangens for noen vinkler mellom 0 og 90 grader. Vinklene er oppgitt i både grader og radianer.
| \(v\) (grader) | \(v\) (radianer) | \(\sin(v)\) | \(\cos(v)\) | \(\tan(v)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0^{\circ}\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(30^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) |
| \(45^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(60^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(90^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(1\) | \(0\) | - |
Sinus til vinkel \(v\) er den vertikale koordinaten \(b\) delt på lengden til hypotenusen, som er lik én:\[\sin(v) = \frac{b}{1} = b\] Derfor kan vi lese av sinusverdien på vertikalaksen, som her er litt mer enn 0,5.
Cosinus til vinkel \(v\) er den horisontale koordinaten \(a\) delt på lengden til hypotenusen, som er én:\[\cos(v) = \frac{a}{1} = a\] Derfor kan vi lese av cosinusverdien på horisontalaksen, som her er ca. 0,8.
Enhetssirkelen kan brukes til å finne sinus og cosinus til alle vinkler, inkludert vinkler som er større enn 90° og vinkler som er negative.
Vinkelen i enhetssirkelen måles fra den positive horisontale aksen og mot klokken til man møter en linje som går fra origo til et punkt på enhetssirkelen. Sinus til denne vinkelen er definert som den vertikale koordinaten til punktet, og cosinus til denne vinkelen er definert som den horisontale koordinaten til punktet.
Hvis for eksempel vinkelen er \(30^{\circ}\), er den vertikale koordinaten i enhetssirkelen 0,5 og den horisontale koordinaten \(\sqrt{3}/2\). Det vil si at sinus til 30 grader er lik 0,5 og cosinus til 30 grader er lik \(\sqrt{3}/2\).
Trigonometriske identiteter er sammenhenger som kan brukes til å forenkle matematiske uttrykk.
For å forenkle utregningene defineres \(a\) = hosliggende katet, \(b\) = motstående katet og \(c\) = hypotenusen.
En av de vanligste trigonometriske identitetene er at tangens til en vinkel er lik sinus delt på cosinus til samme vinkel:
\[\tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)}\]
At \(\tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)}\) er enkelt å vise ut fra definisjonene. Forholdet mellom sinus og cosinus til en vinkel kan skrives som:
\[\frac{\sin(v)}{\cos(v)} = \frac{\;\frac{b}{c}\;}{\frac{a}{c}} = \frac{\frac{b}{c} \cdot c}{\frac{a}{c} \cdot c} = \frac{b}{a} = \tan(v)\]
Enhetsformelen er en mye brukt trigonometrisk identitet. Den er slik:
\[\cos^2(v) + \sin^2(v) = 1\]
At \(\cos^2(v) + \sin^2(v) = 1\) er enkelt å vise fra Pytagoras' læresetning:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Hele ligningen kan deles på \(c^2\) som gir:
\[\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1\]
Siden \(\cos(v) = \frac{a}{c}\) og \(\sin(v) = \frac{b}{c}\), kan ligningen skrives på formen:
\[\cos^2(v) + \sin^2(v) = 1\]
Addisjonsformler gir sinus og cosinus til en sum av to vinkler \(u\) og \(v\):
\[\sin(u + v) = \sin(u) \cos(v) + \sin(v) \cos(u)\]
\[\cos(u + v) = \cos(u) \cos(v) – \sin(u) \sin(v)\]
Addisjonsformlene gjør det mulig å regne ut vinkler som ellers er litt vanskelige. For eksempel kan vi finne sinus til \(75^{\circ}\) fra kjente formler fordi \(75 = 45 + 30\). Både \(45\) og \(30\) har vi nøyaktige verdier for, og dermed er det lettere å regne ut sinus til \((45^{\circ} + 30^{\circ})\) enn å regne ut sinus til \(75^{\circ}\) direkte. Dette var spesielt nyttig før kalkulatorene.
I fysikk brukes addisjonsformlene blant annet til å studere periodiske svingninger og til Fourier-analyse.
Trigonometri har røtter i oldtidens Babylon, Egypt, Hellas, India og Kina. Opprinnelig var trigonometri brukt til å studere trekanter og løse problemer innen astronomi. Hipparchus (ca. 190 til 130 før vår tidsregning) regnes som "trigonometriens far". Han utviklet matematiske metoder for å beregne posisjoner til himmellegemer og laget tabeller som la grunnlaget for trigonometrien som fag.
Fra 1500-tallet ble trigonometri gradvis knyttet tettere til algebra og geometri, og utviklet seg til en selvstendig gren av matematikken. Samtidig ble trigonometri også viktig i navigasjon til sjøs, kartlegging av landområder og måling av store avstander.
På 1700-tallet viste Leonhard Euler hvordan trigonometriske funksjoner kan beskrives ved hjelp av komplekse tall og på 1800-tallet oppdaget Joseph Fourier at periodiske fenomener kan beskrives ved hjelp av sinus- og cosinusfunksjoner. Dette bidro til at trigonometri i dag er et sentralt verktøy i fysikk, ingeniørfag og moderne teknologi.
Kommentarer (2)
skrev Knut A. Rosvold
svarte Andreas Tjernshaugen
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.